Wie optimieren wir die Leistung in Mehrphasensystemen?
Die Facharbeit „Leistungen in Mehrphasensystemen“ von J. Brenner beschäftigt sich mit den theoretischen Grundlagen und praktischen Anwendungen elektrischer Leistung in mehrphasigen Stromversorgungssystemen. Im Fokus stehen die verschiedenen Leistungskomponenten wie Wirk-, Blind- und Scheinleistung sowie deren Berechnung und Bedeutung für industrielle Anwendungen. Diese Arbeit beleuchtet die Besonderheiten der Leistungsübertragung in Dreiphasensystemen und bietet wertvolle Einblicke in die Optimierung und Analyse moderner Stromnetze.
Bereich und Betrag der Wirkleistung in Mehrphasensystemen
Im Bild 1 ist eine beliebige Schnittstelle zwischen Quelle und Verbraucher eines Mehrphasensystems mit n=m Außenleiter +1 Neutralleiter dargestellt.
Sind die dort vorliegenden Augenblickswerte periodische Zeitfunktionen gleicher Periodendauer T, dann können an dieser Schnittstelle u.a. die Effektivwerte
und
sowie, abhängig von der Energieflussrichtung, die Wirkleistung [1]
gemessen werden. Den Zusammenhang dieser Messgrößen beschreibt die Schwarzsche Ungleichung [2]
oder mit den Gleichungen (1.1), (1.2) und (1.3)
Daraus folgt für den Bereich und den Betrag der Wirkleistung im Mehrphasensystem mit Neutralleiter
und
Im Bild 2 ist eine beliebige Schnittstelle zwischen Quelle und Verbraucher eines Mehrphasensystems mit n=m Außenleiter dargestellt. Sind die dort vorliegenden Augenblickswerte periodische Zeitfunktionen gleicher Periodendauer T, dann können an dieser Schnittstelle u.a. die Effektivwerte
und
sowie, abhängig von der Energieflussrichtung, die Wirkleistung [1]
gemessen werden. Den Zusammenhang dieser Messgrößen beschreibt die Schwarzsche Ungleichung [2]
oder mit den Gleichungen (1.8), (1.9) und (1.10)
Daraus folgt für den Bereich und den Betrag der Wirkleistung im Mehrphasensystem ohne Neutralleiter
und
Scheinleistungen in Mehrphasensystemen
Mit der Definition: Die Scheinleistung ist der Betrag der größten Wirkleistung, die mit den jeweils vorliegenden Spannungs- und Stromeffektivwerten erreicht werden kann, folgt aus der Betragsungleichung (1.7) für die Scheinleistung im Mehrphasensystem mit Neutralleiter
und aus der Betragsungleichung (1.14) für die Scheinleistung im Mehrphasensystem ohne Neutralleiter
Mit der Effektivwertgleichung [3]
wird die Scheinleistungsgleichung (2.2) alternativ
Leistungsfaktor in Mehrphasensystemen
Mit den Scheinleistungsgleichungen (2.1) und (2.2) werden die Bereichsungleichungen (1.6) und (1.13)
oder
Mit der Definition: Der Leistungsfaktor ist das Verhältnis von Wirkleistung zu Scheinleistung
wird die Ungleichung (3.2)
d.h. auf Grund dieser Ungleichung ist es möglich, für den Leistungsfaktor den Kosinus eines Winkels ϕ einzuführen.
Der Winkel ϕ ist eindeutig bestimmt, wenn er auf 0 ≤ ϕ ≤ π beschränkt wird.
Wirkleistung in Mehrphasensystemen
Mit Gleichung (3.5) folgt aus Gleichung (3.3) für die Wirkleistung
Dabei gehören zu 0 ≤ ϕ < π / 2 positive P- Werte (Wirkleistungsbezug) und zu π / 2 < ϕ ≤ π negative P- Werte (Wirkleistungsabgabe). Zu ϕ = π / 2 gehört der Wert P = 0.
Blindleistung in Mehrphasensystemen
Mit der Definition: Der Betrag der Wirkleistung und die Blindleistung sind die beiden orthogonalen Komponenten der Scheinleistung lassen sich diese nur positiv definierten drei Leistungsgrößen nach Bild 3 als rechtwinkliges Dreieck darstellen
Folglich gilt
oder
Für die Blindleistung folgt daraus
Mit Gleichung (4.1) wird diese Gleichung
oder
Scheinleistungen in speziellen Mehrphasensystemen
Die Scheinleistung im Einphasen-Zweileitersystem wird nach Gleichung (2.1) mit m=1
oder mit U1N = U und I1= I
Die Scheinleistung im Zweiphasen-Zweileitersystem wird nach Gleichung (2.2) und (2.3) mit m=2
oder mit U10 = U20 =U12 / 2 und I1 = I2 = I
Die Scheinleistung im Zweiphasen-Dreileitersystem wird nach Gleichung (2.1) mit m=2
Die Scheinleistung im Dreiphasen-Dreileitersystem wird nach Gleichung (2.2) und (2.3) mit m=3
Die Scheinleistung im Dreiphasen-Vierleitersystem wird nach Gleichung (2.1) mit m=3
Die Scheinleistung im Sechsphasen-Sechsleitersystem wird nach Gleichung (2.2) und (2.3) mit m=6
wobei
Im symmetrischen Dreiphasen-Dreileitersystem ist U10 = U20 = U30, U12 = U13 = U23 und I1 = I2 = I3. Folglich wird die Scheinleistung nach Gleichung (6.4) in diesem System
Im symmetrischen Dreiphasen-Vierleitersystem ist U1N = U2N = U3N und I1 = I2 = I3. Folglich wird die Scheinleistung nach Gleichung (6.5) in diesem System
Beispiele
Mit den Messwerten im Einphasen- Zweileitersystem
berechnen sich die Scheinleistung, der Leistungsfaktor und die Blindleistung
Mit den Messwerten im Dreiphasen- Dreileitersystem
berechnen sich die Scheinleistung, der Leistungsfaktor und die Blindleistung
Mit den Messwerten im Dreiphasen- Vierleitersystem
berechnen sich die Scheinleistung, der Leistungsfaktor und die Blindleistung
Literatur
[1] J. Brenner: Wirkleistungen in Mehrphasensystemen
[2] J. Brenner: Schwarzsche Ungleichungen
[3] J. Brenner: Spannungen in Mehrphasensystemen
